국립대학 본고사 맛보기) 요코하마국립대학 이공학부 본고사의 수학문제 - 점화식의 응용

안녕하세요! Anarchy입니다.

국립대학 본고사 맛보기는 일본 국립대학을 지망하는 일본 수험생들(혹은 외국인 수험생들)이 본고사 시험장에서 직면하게 되는 다양한 문제들을 맛보기 형식으로 풀이해보는 포스트입니다. 

단순히 제 풀이를 덜렁 내밀기보다는 조금이라도 말을 붙여가면서 하는게 나을 것 같아 중간중간 쓸데없는 말이 이것저것 들어가 있습니다. 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

이번에도 요코하마국립대학 본고사의 수학 문제입니다. 

제가 요코하마국립대학의 문제를 주로 올리는 이유는, "외국인 입시에서도 일본 학생 대상으로 출제되는 본고사 문제를 거의 그대로 가져와서 출제하는 학교" 중 하나이기 때문입니다. 

그래서 요코하마국립대학의 이과 본고사를 준비하는 수험생들은 보통 아카홍(대학별 본고사 기출문제집)이나 50년 수학 기출문제 총집합 문제집 등을 이용해서 주로 대비합니다. 

이러한 니즈에 맞추어서 이 글을 혹여나 보시게 될 수험생 분들이 조금이라도 덜 당황할 수 있도록

이러한 문제가 나오는구나~ 라는걸 알게 되는 계기가 되었으면 하는 바람입니다. 

일단 이번 포스트에서 다룰 문제는 꽤 예전 문제입니다. 

무려 쇼와 39년(1964년)에 출제된 문제인데요

일본의 국립대학 본고사 문제는 보통 예전에 출제된 문제들은 어렵고 최근으로 오면 올수록 눈에 익은 문제들이 출제되는 패턴을 가지는데

이 문제같은 경우는 방법만 알면 크게 어려울 것이 없는 느낌입니다. 

먼저 어떤 문제인지 보도록 하죠. 

일단은 점화식의 개념이 요구되는 문제입니다. 

이상하게 꼬아놓은 것 같기도 하고 왠지 답이 보이는 것 같기도 한 느낌이네요. 

문제를 한국어로 번역한 사진입니다. 

감이 오시나요? 

일단 (1)번 문제 같은 경우는 주어진 식을 이용해서 α와 β의 값을 정하는 문제입니다. 

딱 보셨을 때 주어진 식이 뭔가 얼추 비슷해보이지 않으셨나요? 

네 맞습니다! 두 식 1과 2는 서로 같은 식입니다. 

(잘 모르시겠다면 1번과 2번식의 우변을 좌변으로 이항해서 정리해보세요!)

그리고 원래 문제에서 주어졌던 식과 비교를 해보면 쉽게 α+β, αβ의 값을 정의하실 수 있습니다. 

그리고 여기서 꿀팁을 드리자면, 

α+β, αβ의 값이 정해져 있다면 이 값을 활용할 수 있는 제일 좋은 방법은  α와 β를 해로 가지는 임의의 미지수 t에 대한 방정식으로 정리하는 것입니다. 

손쉽게  α와 β의 값이 정해진 모습입니다. 

(2)로 넘어가보자고요!

(2)번 문제의 경우는 전형적인 (1)번 문제 활용하기 입니다. 

(1)번에서 사용한  α와 β를 그대로 사용한다는 점에서 힌트를 얻으시면 될 것 같습니다. 

그리고 (1)번에서 정의된 식이 등비수열의 식과 엇비슷하다는 점에서 아이디어를 캐치하시면

사진과 같이 문제에서 요구하는 대로 답을 도출하실 수 있습니다. 

그리고 (2)번의 남은 부분에 대해서는 단순한 식 정리로 도출하시면 되겠습니다. 

(3)으로 가봅시다!

미리 말씀드리자면, (3)번의 풀이과정을 쓰는 과정에서 좀 지저분하게 된 부분이 있었습니다

죄송합니다 다시 쓰기가 넘 귀찮아서.. ㅠㅠ

글씨가 좀 작은 것 같네요. 

먼저 갑자기 시그마가 나와서 당황하셨을 수도 있습니다. 

하지만 시그마라는 것이 무엇을 정의한건지 그 본질을 생각해보시면 의외로 쉽게 아이디어를 얻으셨을 수도 있습니다. 

n=1부터 시작해서 n=k(k는 1보다 같거나 큰 임의의 자연수)를 더해서 문제에 있는 Xk의 1->k까지의 합이 등장하는 식으로 만들어줄 수 있다는 것만 떠오르셨으면 이미 다 푸신것과 다름 없네요 ㅎㅎ (③의 식)

그리고 X2=1이므로, 사진에 나와있는 그대로 정리하시면, Xn+1 = Xp라는 생각보다 허무한 결론에 도달하실 수 있습니다. 

즉, n+2 = p라는 정답이 나오게 되는거죠. 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

대학의 본고사 문제라는 이야기를 들으면 어렵다는 이미지탓에 매우 어렵게만 보이지만, 

차근차근 파고 들어가면 의외로 쉽게 풀리는 문제들도 많습니다. 

이번 포스트는 여기까지입니다. 

모두 열공하세요!

오탈자 지적 환영합니다. 댓글로 남겨주세요!

요코하마국립대학/요코국/요코하마국립대학수학/요코하마국립대학본고사/수학본고사/일본국립대학수학본고사/점화식